倍发系统讲堂要峰度还是要风度？

在那篇文章中我们提到了矩的概念，对股票收益率来说，均值和方差是一、二阶矩，偏度是一个三阶矩。很显然，如果我们开心的话，可以不停把矩延伸下去，不过考虑到统计意义，我们这一部分的介绍就到四阶矩为止，也就是今天要提到的概念——峰度。

峰度这个词乍一听还以为是形容小马哥的，不要被我标题影响，这是一个很烂的梗而已。实际上峰度是一个统计指标。从统计上来说，峰度（kurtosis）刻画了平均值处峰值的高低。对它的衡量我们通常是与正态分布进行比较的。对于标准正态分布而言，峰度值为3。当峰度值大于3时，我们称之为尖峰（leptokurtic），当峰度值小于3，则称之为厚峰或者平峰（platykurtic），就像下面这个图显示的这样。

尖峰分布往往具有高的峰部和更长、更肥的尾部，而厚峰往往具有较平坦的峰度，以及更短、更细的尾部。由于峰度这个名字的存在，所以我们看峰度图的时候，往往会首先关注分布的“峰”，也就是尖尖的那一坨（毕竟醒目），但实际上峰度这个概念给我们提供的关注问题的视角应该在尾部。

从刚刚图里可以看出，如果一个分布是尖峰的话，实际上意味着它在两端的分布要多于普通正态分布，这时我们称这个现象为厚尾（所以尖峰厚尾往往是同时出现的）。我们知道从收益率概率分布来说，两端意味着是极端值，尖峰厚尾的现象说明，股票收益的历史数据中包含的极端值更多。

这个概念看上去和方差似乎有些接近，因为都讨论的是极端值的影响。但是方差（二阶矩）衡量的是变量偏离均值的分布情况，而峰度就要显得神棍一些，它讨论的是变量大幅度偏离均值的可能性。也就是说，如果一个股票的收益率方差很大，我们可以说是因为股票收益率分布很分散，而股票的收益率峰度很高的话，我们则可以说方差的主要来源是那些偏离情况非常严重的值决定的。所以有些人也把峰度成为“波动的波动”。

而尖峰厚尾的收益率分布也往往被看作是金融市场的典型事实，A股也不能免俗，既有的研究都能证实，A股股票的收益率同样存在着这样的现象。

△上证指数日收益率分布情况（2010-2018）

数据来源：倍发科技

不过同研究界对偏度的研究热度不同，大部分研究人员并不是特别关注峰度，所以对峰度与股票未来收益的关系的研究并不算充分，这可能与峰度与方差间含义近似有关。我们在倍发系统中，按照既有研究的方式，构造了峰度指标：

这里我们取过去两周的收益率样本作为峰度指标计算的范围，即每次计算的样本期为10个交易日。我们选择2010年至今的沪深300成分股作为我们的研究目标，在股池内，我们在每个月的第一个交易日重新计算峰度值，并依据峰度值大小对样本股票进行排序和分组（均分为5组），F1组为峰度值最大的20%的股票，而F5组为峰度值最小的20%的股票。

△峰度指标沪深300成分股回测情况

从回测结果来看，我们可以看到，过去九年间，高峰度的沪深300股票获得的收益要略高于低峰度的股票，高峰度股票的年化收益为4.01%，不过因子的预测能力并不突出，IC均值仅为0.003。而在另外两类成分股，中证500和创业板股票中，我们采取同样方法回测的结果却很难发现峰度指标对未来收益有明显的预测能力。

△峰度指标中证500成分股回测情况

△峰度指标创业板股票回测情况

事实上，从类似研究的结论来看，投资者通常是厌恶高峰度股票的，因为峰度高意味着投资者相对于平均收益水平遭遇尾部风险的概率大大上升。但是由于尾部风险在金融市场上具有双向性，比如在牛市，高峰度可能意味着股票获得极端高收益的概率提升，而反过来，在熊市阶段，高峰度股票遭遇极端亏损的可能性也会提高。这可能会导致，投资者在不同的时期对峰度的偏好是不一致的。

从上表里我们可以发现，沪深300成分股高低峰度股票分年的对冲情况我们可以发现，在市场下跌比较厉害的年份，高峰度股票的收益是要低于低峰度的股票的，但是在市场上涨的年份，高峰度股票的收益是更高的。不过同样地，在中证500和创业板股票里，峰度收益规律依然不明显。

从这个角度来说，峰度指标似乎并不太适用于分析A股的中小股票。我们另外分析了沪深300成分股中高峰度和低峰度股票的差异。可以发现，高峰度股票的平均市值要高于低峰度股票，但在换手率上，高低峰度的股票基本没有差异。不过高峰度股票的平均PE要比低峰度股票高出很多，从价格角度来说，高峰度股票价格被高估的成分更大，这也是它们高峰度的一个主要原因。

△高低峰度股票市值差异

△高低峰度股票换手率差异

△高低峰度股票PE差异

从定义上来说，以偏度和峰度为代表的统计特征蕴含了极端风险的信息，事实上我们可以通过股票的高阶矩变动，分析宏观事件对股票收益的冲击，而根据最近两次回测的情况，我们可以通过偏度指标对其中蕴含的信息进行更为有效的捕捉，而峰度指标在因子的指示性作用上效果稍逊。不过这并不妨碍我们在均值方差之外，对高阶矩信息作出评估，这对我们有效地分析风险有非常重要的指示作用。