量化投资中用到的基础数学概念及用法

一：数学期望

在日常生活中，我们每做的一件事，都有对它的期望，这里的期望不仅仅只有结果的胜负，也可以和状态有关。

但在数学中，一般指的就是达到结果的期望，最简单的计算是每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

数学期望(Expected Value)，也叫做均值或期望值，是概率论中一个重要的概念，表示随机变量在一系列可能结果中的

加权平均值。它是一个理论值，用于衡量在大量重复实现或观测中随机变量的平均表现。数学期望可以应用于离散型

和连续型随机变量。

期望 = SUM(事件发生的结果 * 事件发生的概率)

举例：一个人射箭，一共射了5次，分别是10环，8环，8环，7环，5环。

数学期望就是10*0.2 + 8*0.2 + 8*0.2 + 7*0.2 + 5*0.2

期望在金融领域的应用：

期望收益：

在投资组合管理中，期望收益是衡量投资组合预期表现的关键指标。通过计算各种资产的预期收益率和权重，

投资者可以了解投资组合的预期收益。期望收益可以帮助投资者根据风险偏好，投资目标和事件范围来选择合适

的投资组合。

风险度量：

期望在计算风险度量指标，如标准差，价值在险等时也起到关键作用。这些度量指标可以帮助投资者评估投资组合的

风险程度，从而制定相应的风险管理策略。

期权定价：

期望在期权定价模型中扮演者重要角色。期权定价模型需要计算标的资产在到期日的预期价格分布，以估算期权的合理价格。

期望在这一过程中用于计算预期收益率和波动率等参数。

二：方差

方差是衡量数据分布离散程度的统计量，用于表示数据集中各数据值与其平均值之间的差异程度。方差可以帮助我们了解数据的

波动性和不稳定性。方差值越大，波动越大，越不稳定。值越小，波动越小，越稳定。

方差(X) = SUM((X – X.MEAN())**2) / N

在python中numpy.ndarray.var()使用方法：

import numpy as np
a = [5, 6, 12, 9]
var = np.var(a)
print(var)

三：标准差

标准差是一个用来衡量一组数据的离散程度（即数据分布的集中或分散程度）的统计指标。

它是方差的平方根，标准差可以帮助我们了解数据的波动性和不确定性。

标准差越大，波动越大，越不稳定。标准差越小，波动越小，越稳定。

标准差 = sqrt(方差)

在python中numpy.ndarray.std()的使用方法：

import numpy as np
b = [2,4,6,8]
std = np.std(b)
print(std)

四：协方差

协方差(Covariance)是一种衡量两个随机变量之间线性相关性的统计量。如果两个变量的协方差为正值，那么他们在很大程度上是正相关的，

即一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加。如果协方差为负值，则表示两个变量大致呈现负相关，即一个变量增加时，另一个变量倾向于减少。

如果协方差接近于零，则表示两个变量之间的相关性较弱。

协方差(x, y) = 期望((X – 期望(x)) * (Y – (期望(y))))

协方差(x, y) = sum(X – x.mean) * (Y – y.mean)) / n-1

五：相关系数

相关系数是一个统计指标，用于衡量两个变量之间的线性关系强度。其数值范围在-1到1之间。相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强；

相关系数为0表示两个变量之间没有线性关系；正值表示正相关，即一个变量增加时，另一个变量也增加；负值表示负相关，即一个变量增加时，另一个变量

减少；

Corr(x,y) = cov(x,y) / (std(x) * std(y))

相关系数是量化投资中用的非常多的，比如因子挖掘的时候。所以，我们重点介绍一下相关系数：

df.corr(method='')

注意：

一：

df.corr(method='spearman')

括号内的method有两个参数可选，一个是method=’spearman’

spearman 秩相关系数（斯皮尔曼相关系数）：皮尔森相关系数主要用于服从正态分布的连续变量，不服从正态分布的变量，分类的关联性可采用spearman

秩相关系数，也称等级相关系数。

spearman系数和pearson系数在效率上等价.

输出范围为-1到+1，0代表无相关性，负值为负相关，正值为正相关。

0<|r|<1表示存在不同程度线性相关。

|r|<=0.3:不存在线性相关

0.3<|r|<=0.5：低度线性相关

0.5<|r|<=0.8:显著线性相关

|r|>0.8:高度线性相关

二：

df.corr(method='pearson')

括号内的method有两个参数可选，第二个是method=’pearson’

皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数，是一种线性相关系数。

衡量向量相似度的一种方法。

输出范围为-1到+1，0代表无相关性，负值为负相关，正值为正相关。

0<|r|<1表示存在不同程度线性相关。

|r|<=0.3:不存在线性相关

0.3<|r|<=0.5：低度线性相关

0.5<|r|<=0.8:显著线性相关

|r|>0.8:高度线性相关

前提条件：正态分布。做皮尔森之前要先检验两组数据是不是正态分布。

总结：在使用df.corr()做相关系数之前，要先判断两组数据是不是服从正态分布，服从正态分布，使用method=’pearson’。不服从正态分布的，使用method=’spearman’

三：

K-S检验是否服从正态分布

那么怎么检验两组数据是不是服从正态分布呢？

原假设：数据符合正态分布

kstest(rvs, cdf, args=(), N=20, alternative=’two_sided’, mode=’approx’, **kwds)

对于正态性检验，我们只需要手动设置三个参数即可：

rvs：待检验的一组一维数据

cdf：检验方法，例如’norm’，’expon’，’rayleigh’，’gamma’，这里我们设置为’norm’，即正态性检验

alternative：默认为双尾检验，可以设置为’less’或’greater’作单尾检验

model:’approx'(默认)，使用检验统计量的精确分布的近视值，

‘asymp’：使用检验统计量的渐进分布

”’输出结果中第一个为统计量，第二个为P值（注：统计量越接近0就越表明数据和标准正态分布拟合的越好，

如果P值大于显著性水平，通常是0.05，接受原假设，则判断样本的总体服从正态分布）”’

stats.kstest(a, ‘norm’)

举例：

'''
直接用算法做KS检验

'''
# scipy 包是一个高级的科学计算库，它和numpy联系很密切，scipy一般都是操控numpy数组来进行科学计算
from scipy import stats

# 样本数据，35位男士的血糖浓度，和楼上的数据一样的。
data = [87, 77, 92, 68,80,78, 84, 77, 81, 80, 80, 77, 92,86, 76, 80, 81, 75, 77, 72, 81, 72, 84, 86, 80, 68, 77, 87, 76, 77, 78, 92, 75, 80, 78]

df = pd.DataFrame(data, columns = ['value'])
u = df['value'].mean()
std = df['value'].std()

stats.kstest(df['value'], 'norm', (u, std))

六：概率分布

概率分布是一个描述随机变量可能取值及其对应概率的数学表达。它是概率论和统计学中的基本概念，用于量化不确定性和随机性。

# 求样本的偏度
df.skew() 
# 求样本的峰度
df.kurt()