量化实战入门（11）量化投资常用的统计学知识及Python实现

量化投资常用的统计学知识及Python实现

统计学作为量化投资中的重要工具，在投资决策、风险管理、策略评估等方面发挥着至关重要的作用。在这篇文章中，我们将重点介绍在量化投资中常用的一些统计学知识，并给出对应的Python实现。
Python拥有丰富的数据处理和科学计算库，如NumPy、Pandas、SciPy、Statsmodels、Scikit-learn等，使得它成为量化投资领域的首选编程语言。本文将阐述在量化投资中常用的统计学知识，并通过Python代码的形式，展示如何实现这些统计学计算。你会看到使用Python中现成的库，很容易就能实现这些计算。
本节需要用到numpy、pandas、scipy、statsmodels这几个库，需要先导入这些库：
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
01

最大值、最小值、绝对值
在一组数据中，最大的那个数就是最大值，最小的那个数就是最小值。一个数的绝对值是该数值去掉负号后的数。

1. 用numpy库计算最大值、最小值和绝对值
   data = [5, -3, 9, 0, -6]
   max_value = np.max(data) # 计算最大值
   min_value = np.min(data) # 计算最小值
   abs_value = np.abs(data) # 计算绝对值
2. 用pandas库计算
   data = pd.Series([5, -3, 9, 0, -6])
   max_value = data.max() # 计算最大值
   min_value = data.min() # 计算最小值
   abs_value = data.abs() # 计算绝对值
   02

和、积
求和：将一组数值全部加起来的结果称为求和。
求积：将一组数值全部相乘的结果称为求积。
累和：将一组数值按照顺序逐个相加的结果。例如，对于数列[1, 2, 3, 4, 5]，其累和是[1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5]，即[1, 3, 6, 10, 15]。
累积：将一组数值按照顺序逐个相乘的结果。例如，对于数列[1, 2, 3, 4, 5]，其累积是[1, 12, 123, 1234, 12345]，即[1, 2, 6, 24, 120]。

1. 用numpy库进行计算
   data = [1, 2, 3, 4, 5]
   sum_value = np.sum(data) # 计算求和
   product = np.prod(data) # 计算积
   cumulative_sum = np.cumsum(data) # 计算累和
   cumulative_product = np.cumprod(data) # 计算累积
2. 用pandas库计算
   data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])
   sum_value = data.sum() # 计算求和
   product = data.prod() # 计算积
   cumulative_sum = data.cumsum() # 计算累和
   cumulative_product = data.cumprod() # 计算累积
   用累积计算可以将策略的日收益率序列转化为累计净值序列，举例如下：
   daily_return = pd.Series([0.01, 0.012, -0.02, 0.014, 0.016, 0.021]) # 策略日收益率序列
   accumulated_net = (daily_return + 1).cumprod() # 策略累计净值序列
   03

中位数和分位数
1.中位数
中位数是一组数据的中心点，它将数据集分为两个等量的部分。在排序后的数据集中，如果数据点的数量是奇数，那么中位数就是中间的数；如果数据点的数量是偶数，那么中位数就是中间两个数的平均值。例如，对于数列[1, 3, 5, 7, 9]，其中位数是 5。
在Python中，我们可以使用numpy包的median函数来计算中位数。例如：
data = [1, 3, 5, 7, 9]
median = np.median(data) # 计算中位数
也可以用pandas库计算中位数：
data = pd.Series([1, 3, 5, 7, 9])
median = data.median() # 计算中位数
2.分位数
分位数是对数据集进行分割的数值点，将数据集的所有数据点分为几个等份。例如，四分位数将数据集分为四等份，其中第一个四分位数（25%分位数）是将最小25%的数据点与其余数据分开的点，第二个四分位数（50%分位数，也就是中位数）将最小的50%的数据点与其余数据分开，第三个四分位数（75%分位数）将最小的75%的数据点与其余数据分开。
在Python中，我们可以使用numpy包的quantile函数来计算分位数。例如：
data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
q1 = np.quantile(data, 0.25) # 第一个四分位数
q2 = np.quantile(data, 0.50) # 第二个四分位数，也是中位数
q3 = np.quantile(data, 0.75) # 第三个四分位数
也可以用pandas库计算分位数：
data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
q1 = data.quantile(0.25) # 第一个四分位数
q2 = data.quantile(0.50) # 第二个四分位数，也是中位数
q3 = data.quantile(0.75) # 第三个四分位数
04

平 均 数
量化投资中经常用到以下几种平均数：

1. 算术平均数（Arithmetic Mean）
   算术平均数是所有数据值的总和除以数据值的数量。用Python的numpy库和pandas库计算算术平均数的代码如下：
   data = [1, 2, 3, 4, 5]

#使用numpy计算算术平均数

mean_np = np.mean(data)

#使用pandas计算算术平均数

data_pd = pd.Series(data)
mean_pd = data_pd.mean()

2. 几何平均数（Geometric Mean）
   几何平均数是所有数据值乘积的n次方根，其中n是数据值的数量。几何平均数常用于计算比率和增长率。我们可以通过scipy库的gmean函数来计算：
   data = [1, 2, 3, 4, 5]
   gmean = stats.gmean(data)
3. 移动平均数
   移动平均数是时间序列数据的一种平均数，它计算了每个滚动时间窗口的平均值。在量化投资中可以用移动平均数来计算均线值。我们可以使用pandas库的rolling函数计算移动平均数：
   data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])
   rolling_mean = data.rolling(window=3).mean()
   这里，参数window决定了滚动窗口的大小。函数返回的是移动平均数的序列。
4. 指数平均数（Exponential Moving Average，EMA）
   指数平均数是时间序列数据的一种平均数，它给近期的数据赋予更大的权重。在pandas库中，我们可以使用ewm函数计算指数平均数：
   data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])
   ema = data.ewm(span=3, adjust=False).mean()
   这里，参数span决定了平滑的程度。函数返回的是指数平均数的序列。
   05

相关系数
相关系数是一种统计度量，用于衡量两个数值变量间的线性关系强度和方向。相关系数的值范围为-1到1。如果相关系数为正数，表示两个变量之间存在正向的线性关系；如果相关系数为负数，表示两个变量之间存在负向的线性关系；如果相关系数为0，表示两个变量之间没有线性关系。
在Python中，可以使用numpy和pandas库来计算相关系数。

1. 使用numpy计算相关系数
   x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
   y = np.array([1, 3, 5, 2, 4])
   correlation = np.corrcoef(x, y)[0, 1] # 计算相关系数
   这段代码计算了向量x和向量y的相关系数。np.corrcoef返回的是一个相关系数矩阵，我们只需要取第1行第2列或第2行第1列的元素，即为x和y的相关系数。
2. 使用pandas计算相关系数
   df = pd.DataFrame({‘x’: [1, 2, 3, 4, 5], ‘y’: [1, 3, 5, 2, 4]})
   correlation = df[‘x’].corr(df[‘y’]) # 计算相关系数
   这段代码创建了一个包含两列（’x’和’y’）的DataFrame，然后计算了这两列的相关系数。df[‘x’].corr(df[‘y’])会返回x和y的相关系数。
   06

方差和标准差
方差和标准差用于衡量数据集的离散程度或波动性。
方差是衡量一组数值的离散程度，或者说，它是衡量数据点与均值之间差异的平方的平均值。方差越大，数据点的离散程度就越高；方差越小，数据点就越接近均值。
标准差是方差的平方根。与方差一样，标准差也可以衡量数据的离散程度。但是，由于标准差的单位与原数据的单位相同（而方差的单位为原数据单位的平方），在许多情况下，标准差比方差更容易理解和解释。
在量化投资中经常用标准差来衡量风险程度，收益率序列的标准差越大，说明收益的波动性越大，风险越高。
在Python中，可以使用numpy和pandas库来计算方差和标准差。

1. 使用numpy计算方差和标准差
   data = [1, 2, 3, 4, 5]
   variance = np.var(data) # 计算方差
   std_dev = np.std(data) # 计算标准差
2. 使用pandas计算方差和标准差
   data_pd = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])
   variance = data_pd.var() # 计算方差
   std_dev = data_pd.std() # 计算标准差
   注意，pandas和numpy在计算方差时使用的公式稍有不同。numpy默认使用总体方差公式，即平方和除以数据点的数量，而pandas默认使用样本方差公式，即平方和除以（数据点的数量-1）。这就是为什么相同的数据在numpy和pandas中得到的方差值不同的原因。如果我们想要得到和pandas相同的结果，我们可以在numpy的var函数中设置ddof参数为1，即np.var(data, ddof=1)。同样，对于标准差，我们也可以在numpy的std函数中设置ddof参数为1，即np.std(data, ddof=1)，来得到和pandas相同的结果。
   07

偏度和峰度
偏度是统计数据分布对称性的度量。正偏度表示数据偏向左（或者说偏向小值），负偏度表示数据偏向右（或者说偏向大值）。偏度为0表示数据两侧的分布对称。
峰度是描述数据分布形状的统计量，特别是描述分布尾部的形状。正峰度表示数据分布比正态分布更陡峭/尖锐，负峰度表示数据分布比正态分布更平坦。峰度为0表示数据分布的形状与正态分布相同。
在Python中，我们可以使用scipy库和pandas库来计算偏度和峰度。
1.使用scipy库计算
data = [1, 2, 3, 4, 5]
skewness = stats.skew(data) # 计算偏度
kurt = stats.kurtosis(data) # 计算峰度
2.使用pandas库计算
data_pd = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])
skewness = data_pd.skew() # 计算偏度
kurt = data_pd.kurt() # 计算峰度
注意，scipy库的kurtosis函数计算的是Excess Kurtosis，即与正态分布相比的峰度。而pandas库的kurt函数计算的是Fisher’s Kurtosis，即真实的峰度值。这就是为什么相同的数据，在scipy和pandas中得到的峰度值不同的原因。
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线性回归
线性回归在量化投资中的应用很广泛，比如它可以用来预测未来的价格或收益、构建风险模型、构建因子、构建交易策略等等。
在Python中，我们可以使用statsmodels库来实现线性回归。以下是一个例子：

#生成一些样本数据

np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100)
Y = 3 * X + np.random.randn(100)

#添加常数列，因为statsmodels的线性回归默认不包含截距项

X = sm.add_constant(X)

#建立并拟合模型

model = sm.OLS(Y, X)
results = model.fit()

#打印回归结果

print(results.summary())
这个程序首先生成一些随机的X（自变量序列）和Y（因变量序列），然后用线性回归模型拟合X和Y。最后，打印出回归结果，如下：

statsmodels的summary方法打印出了很多回归结果，以下是一些主要的回归结果的含义：
coef：这是回归系数，表示X每变动一个单位，Y预期的变动量。在以上的例子中，有两个回归系数——一个是常数项（const），一个是x1。const即是回归方程的截距，x1即是回归方程的斜率。
std err：这是回归系数的标准误差，表示估计的不确定性。标准误差越大，估计的不确定性越高。
t：这是t统计量，等于回归系数除以标准误差。绝对值越大，表示回归系数越显著。
P>|t|：这是t统计量的p值，表示回归系数为0的假设是否可以被拒绝。p值越小，表示回归系数越显著。
R-squared：这是决定系数，表示X可以解释Y变动的比例。越接近1，表示模型的解释能力越强。
F-statistic和Prob (F-statistic)：这是F统计量和它的p值，用来测试模型中所有的回归系数是否同时为0。p值越小，表示模型至少有一个系数是显著的。