ARMA模型、ARIMA模型及季节模型，这些模型一般都假设干扰项的方差为常数，然而很多情况下时间序列的波动有集聚性等特征，使得方差并不为常数。因此，如何刻画方差是十分有必要研究的。本文介绍的ARCH、GARCH模型可以刻画出随时间变化的条件异方差。

参考文献

1.《金融时间序列分析》 第2版 Ruey S.Tsay著 王辉、潘家柱 译
2.TimeSeriesAnalysisTsa
http://nipy.bic.berkeley.edu/nightly/statsmodels/doc/html/tsa.html
3.Python arch 3.2
https://pypi.python.org/pypi/arch

七、自回归条件异方差模型(ARCH)

7.1 波动率的特征

对于金融时间序列，波动率往往具有以下特征：

（1）存在波动率聚集现象。即波动率在一段时间上高，一段时间上低。

（2）波动率以连续时间变化，很少发生跳跃

（3）波动率不会发散到无穷，波动率往往是平稳的

（4）波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应是不同的，这个现象为杠杆效应

7.2 ARCH的基本原理

在传统计量经济学模型中，干扰项的方差被假设为常数。但是许多经济时间序列呈现出波动的集聚性，在这种情况下假设方差为常数是不恰当的。

ARCH模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。

7.2.1 ARCH模型思想

1.资产收益率序列的扰动{at}是序列不相关的，但是不独立。

2.{at}的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来描述。

具体而言，一个ARCH(m)模型为：

7.2.2 ARCH模型效应

从上面模型的结构看，大的过去的平方“扰动”会导致信息at大的条件异方差。从而at有取绝对值较大的值的倾向。这意味着：在ARCH的框架下，大的”扰动”会倾向于紧接着出现另一个大的”扰动”。这与波动率聚集的现象相似。

所谓ARCH模型效应，也就是条件异方差序列的序列相关性

7.3 ARCH模型建立

ok，上面尽可能简单的介绍了ARCH的原理，下面主要介绍如何python实现。ARCH模型建立大致分为以下几步：

步骤（1）：通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型（如ARMA）来消除任何线形依赖。

步骤（2）：对均值方程的残差进行ARCH效应检验

步骤（3）：如果具有ARCH效应，则建立波动率模型

步骤（4）：检验拟合的模型，如有必要则进行改进

arch库其实提供了现成的方法（后面会介绍），但是为了理解ARCH，我们按流程来建模

7.3.1 均值方程的建立

这里的均值方程可以简单认为建立ARMA(或ARIMA)模型，ARCH其实是在此基础上的一些“修正”。我们以上证指数日涨跌幅序列为例：

由于后面的arch库均值方程只支持常数、零均值、AR模型，我们这里建立AR模型，方便对照~

# 相关库
from scipy import  stats
import statsmodels.api as sm  # 统计相关的库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import arch  # 条件异方差模型相关的库

IndexData = DataAPI.MktIdxdGet(indexID=u"",ticker=u"000001",beginDate=u"20140101",endDate=u"20160101",field=u"tradeDate,closeIndex,CHGPct",pandas="1") 
IndexData = IndexData.set_index(IndexData['tradeDate'])
data = np.array(IndexData['CHGPct']) # 上证指数日涨跌
IndexData['CHGPct'].plot(figsize=(15,5))

首先检验平稳性，是否需要差分。原假设H0：序列为非平稳的，备择假设H1:序列是平稳的

t = sm.tsa.stattools.adfuller(data)  # ADF检验
print "p-value:   ",t[1]

p-value: 7.55775720826e-10

p-value小于显著性水平，拒绝原假设，因此序列是平稳的，接下来我们建立AR(p)模型，先判定阶次

fig = plt.figure(figsize=(20,5))
ax1=fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(data,lags = 20,ax=ax1)

于是我们建立AR(8)模型，即均值方程

order = (8,0)
model = sm.tsa.ARMA(data,order).fit()

7.3.2 ARCH效应的检验

我们利用（一）中的混成检验（Ljung-Box),检验序列 {a2t} 的相关性，来判断是否具有ARCH效应

计算均值方程残差：

画出残差及残差的平方

at = data -  model.fittedvalues
at2 = np.square(at)
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.subplot(211)
plt.plot(at,label = 'at')
plt.legend()
plt.subplot(212)
plt.plot(at2,label='at^2')
plt.legend(loc=0)

然后对{a2t}序列进行混成检验：原假设H0:序列没有相关性，备择假设H1:序列具有相关性

m = 25 # 我们检验25个自相关系数
acf,q,p = sm.tsa.acf(at2,nlags=m,qstat=True)  ## 计算自相关系数 及p-value
out = np.c_[range(1,26), acf[1:], q, p]
output = pd.DataFrame(out, columns=['lag', "AC", "Q", "P-value"])
output = output.set_index('lag')
output

p-value小于显著性水平0.05，我们拒绝原假设，即认为序列具有相关性。因此具有ARCH效应。

7.3.2 ARCH模型的建立

首先讲讲ARCH模型的阶次，可以用{a2t}序列的偏自相关函数PACF来确定：

fig = plt.figure(figsize=(20,5))
ax1=fig.add_subplot(111)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(at2,lags = 30,ax=ax1)

由上面的图我们可以粗略定为4阶。然后建立AR(4)模型

后续的AR模型就不建立了~ 当然，按照上述流程走下来非常麻烦~

事实上arch库可以一步到位~：

根据我们之前的分析，可以粗略选择均值模型为AR(8)模型，波动率模型选择ARCH(4)模型

train = data[:-10]
test = data[-10:]
am = arch.arch_model(train,mean='AR',lags=8,vol='ARCH',p=4) 
res = am.fit()

res.summary()

res.params

可以看出，我们的模型为：

对上述模型，我们可以看出，上证指数的日收益率期望大约在0.16%。模型的R-squared较小，拟合效果一般。

7.3.3 ARCH模型的预测

首先来看整体的预测拟合情况：

res.hedgehog_plot()

可以看出，虽然具体值差距挺大，但是均值和方差的变化相似。下面再看最后10个数据的预测情况

len(train)

479

pre = res.forecast(horizon=10,start=478).iloc[478]
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(test,label='realValue')
pre.plot(label='predictValue')
plt.plot(np.zeros(10),label='zero')
plt.legend(loc=0)

可以看出，光从看涨看跌的角度去看，预测看涨看跌的正确率为60%，当然，其实模型更重要的功能是预测波动率。

八、GARCH模型与波动率预测

虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，例如上面用到ARCH(4)模型，有时会有更高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1986)年提出了一个推广形式，称为广义的ARCH模型（GARCH）

另

为t时刻的新息。若at满足下式：

其中，εt为均值为0，方差为1的独立同分布（iid）随机变量序列。通常假定其服从标准正态分布或标准化学生-t分布。σ2t为条件异方差。

则称at服从GARCH(m,s)模型。仔细观察公式，发现与ARMA模型很相似！

8.1 GARCH模型建立

与之前的ARCH模型建立过程类似，不过GARCH(m,s)的定阶较难，一般使用低阶模型如GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等。

下面我们以之前的数据为例，构建GARCH模型，均值方程为AR(8)模型，波动率模型为GARCH(1,1)

train = data[:-10]
test = data[-10:]
am = arch.arch_model(train,mean='AR',lags=8,vol='GARCH') 
res = am.fit()

res.summary()

res.params

我们得到波动率模型：

res.plot()plt.plot(data)

观察上图，第一张图为标准化残差，近似平稳序列，说明模型在一定程度上是正确的；

第二张图，绿色为原始收益率序列、蓝色为条件异方差序列，可以发现条件异方差很好得表现出了波动率。

res.hedgehog_plot()

观察拟合图发现，在方差的还原上还是不错的。

8.2 波动率预测

上一章的预测直接预测了收益率，然而直接预测收益率准确度并不是很高，因此很多时候我们主要用来预测波动率，根据上面建立的波动率模型：

我们可以按照我们建立好的模型一步步计算。

根据模型：

先计算at的预测值

res.params

我们需要提取均值方程的系数向量w，再逐个计算at后面10个值

ini = res.resid[-8:]
a = np.array(res.params[1:9])
w = a[::-1] # 系数
for i in range(10):
    new = test[i] - (res.params[0] + w.dot(ini[-8:]))
    ini = np.append(ini,new)
print len(ini)
at_pre = ini[-10:]
at_pre2 = at_pre**2
at_pre2

接着根据波动率模型预测波动率：

ini2 = res.conditional_volatility[-2:] #上两个条件异方差值for i in range(10):    new = 0.000007 + 0.1*at_pre2[i] + 0.88*ini2[-1]    ini2 = np.append(ini2,new)vol_pre = ini2[-10:]vol_pre

array([ 0.01371481, 0.01211263, 0.01066613, 0.00939748, 0.00828216, 0.00729652, 0.00651609, 0.00575681, 0.0050735 , 0.00448723])

我们将原始数据、条件异方差拟合数据及预测数据一起画出来，分析波动率预测情况

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.plot(data,label='origin_data')
plt.plot(res.conditional_volatility,label='conditional_volatility')
x=range(479,489)
plt.plot(x,vol_pre,'.r',label='predict_volatility')
plt.legend(loc=0)

可以看出，对于接下来的1、2天的波动率预测较为接近，然后后面几天的预测逐渐偏小。

可惜的是arch库中没有找到直接调用的方法，只好自己来计算。

小结

本篇是金融时间序列系列的最后一篇，重点还是在基础的概念和python实现上。事实上要真学好这些模型，少不了更多的参考和实验。

另外，还有很多扩展的或改进的模型如求和GARCH、GARCH-M模型、指数GARCH、EGARCH模型等等。 对于波动率模型，还有比较常用的有随机波动率模型等， 有兴趣可以去研究下。