股票价格中的布朗运动模拟[Python代码实现]

股票价格的波动形成了一种随机模式。价格每天波动是由市场力量（如供求关系、公司估值和收益）、经济因素（如通胀、流动性、国家和投资者的人口统计数据、政治发展等）所致。市场参与者试图利用所有这些因素来预测股票价格，并通过他们的交易活动使价格变动呈现出随机性，因为金融和经济世界是不断变化的。

什么是布朗运动？

布朗运动（Brownian motion）是一种随机过程，最初由英国生物学家罗伯特·布朗在1827年观察到悬浮颗粒的不规则运动而提出。布朗运动的特点是连续性、无记忆性和随机性，它在数学和物理学领域有着广泛的应用。

在金融领域，布朗运动用于模拟股票价格的随机波动。这是因为股票价格的变动受到许多随机且不可预测的因素的影响，例如新闻事件、市场情绪和利率变化。通过将股票价格建模为布朗运动过程，分析师可以使用随机微积分等数学工具来预测未来股票价格，并估计与不同投资策略相关的风险。布朗运动模型的应用包括：

• 资产价格模拟：通过模拟资产价格路径，可以评估不同策略和投资组合的风险和回报。
• 期权定价：布朗运动模型可用于计算期权合约的理论价格，例如欧式期权的黑-斯科尔斯（Black-Scholes）定价模型。
• 风险管理：通过模拟布朗运动路径，可以对投资组合的风险进行评估和管理，例如计算价值-at-风险（Value-at-Risk）指标。

布朗运动的数学定义

标准布朗运动

在金融随机过程的上下文中，布朗运动也被描述为维纳过程，它是一个具有正态分布增量的连续随机过程。使用维纳过程的符号表示，连续时间下的资产价格模型可以表示为：

其中dS是连续时间dt内资产价格的变化量。dX是来自正态分布（N(0, 1)或维纳过程）的随机变量。σ被假设为常数，表示考虑外部影响导致的意外变化的价格波动率。μdt表示时间间隔内的确定性回报，其中μ表示资产价格的增长率或“漂移”。
当市场使用标准布朗运动建模时，未来价格的概率分布函数是正态分布。

几何布朗运动

其中dS是连续时间dt内资产价格的变化量。dX是来自正态分布（N(0, 1)或维纳过程）的随机变量。σ被假设为常数，表示考虑外部影响导致的意外变化的价格波动率。μdt表示时间间隔内的确定性回报，其中μ表示资产价格的增长率或“漂移”。
当市场使用几何布朗运动建模时，未来价格的概率分布函数是对数正态分布。

使用Python代码模拟布朗运动

# 导入依赖库
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns

# 固定随机数种子
rng = np.random.default_rng(42)

# 设置路径数量和每条路径的时间步数
paths = 50
points = 1000

# 初始化平均值为零，而波动性（标准差）为 1 的高斯分布
mu, sigma = 0.0, 1.0
Z = rng.normal(mu, sigma, (paths, points))

# 定义时间步长和 t 轴
interval = [0.0, 1.0]
dt = (interval[1] - interval[0]) / (points - 1)
t_axis = np.linspace(interval[0], interval[1], points)

# 标准布朗运动：生成的布朗运动路径具有零均值和单位标准差
W = np.zeros((paths, points))
for idx in range(points - 1):
    real_idx = idx + 1
    W[:, real_idx] = W[:, real_idx - 1] + np.sqrt(dt) * Z[:, idx]

# 绘制标准布朗运动路径
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 8))
for path in range(paths):
    ax.plot(t_axis, W[path, :])
ax.set_title("Standard Brownian Motion sample paths")
ax.set_xlabel("Time")
ax.set_ylabel("Asset Value")
plt.show()

# 获取最终路径值集合
final_values = pd.DataFrame({'final_values': W[:, -1]})

# 用 Seaborn 估计并绘制这些最终值的分布
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 8))
sns.kdeplot(data=final_values, x='final_values', fill=True, ax=ax)
ax.set_title("Kernel Density Estimate of asset path final value distribution")
ax.set_ylim(0.0, 0.325)
ax.set_xlabel('Final Values of Asset Paths')
plt.show()

# 输出这些最终值的均值和标准差
print(final_values.mean(), final_values.std())

# 创建非零均值和非单位标准差
mu_c, sigma_c = 5.0, 2.0

# 几何布朗运动：生成的布朗运动路径具有恒定均值 mu_c 和恒定标准差 sigma_c
X = np.zeros((paths, points))
for idx in range(points - 1):
    real_idx = idx + 1
    X[:, real_idx] = X[:, real_idx - 1] + mu_c * dt + sigma_c * np.sqrt(dt) * Z[:, idx]

# 绘制几何布朗运动路径
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 8))
for path in range(paths):
    ax.plot(t_axis, X[path, :])
ax.set_title("Constant mean and standard deviation Brownian Motion sample paths")
ax.set_xlabel("Time")
ax.set_ylabel("Asset Value")
plt.show()