如果数据的参数不随时间变化，则我们称之为平稳，否则为不平稳，下面来看两个序列A与B。

A序列为符合正态分布的一组数据，均值与方差分别为0和1

A序列

A序列图

注：可以看到A序列一直在0上下波动

再来生成B序列，B序列的均值引入了一个时间变量，

B序列

B序列图

注：可以明显看到序列的向上趋势

危险的非平稳性

正式的论文中，都需要对数据的平稳性做深入可靠的验证，如果你忽略了这点，就可能得到毫无意义的结果。我们在这里使用上述的B序列，先来计算下其均值

计算B的均值

注：均值体现了所有数据的平均水平，但是对于预测未来状态则是毫无意义的，因为掺杂了不同时间的不同状态，对在不同时间点的统计结果进行比较也是徒劳的。这只是一个简单的例子，用来说明非平稳性对我们的分析造成的影响，在实际中存在更多此类为题，请务必小心。

平稳性检验

一般使用扩展迪基-福勒检验（Augmented Dickey–Fuller test ）对平稳性进行检验。

adf检验

注：可以看到结果符合预期，A序列是平稳的，而B序列是不平稳的

移动平均表达法/沃尔德理论

在时间序列分析中，移动平均表达法是一个重要的概念，一个时间序列Y的表达式定义如下：

移动平均表达法

其中η是确定的，比如是正弦波形，因此我们可以很好的对其建模。但是递进过程则是随机的，只能通过时间逐步推导新信息。

其中的递进序列ε的定义如下，其代表t时间点前数据无法解释的随机部分：

递进序列定义

注：bj表示ε对于Yt的影响程度

单整阶数（Order of Integration）

我们将单整阶数为i写为I(i)，如果一个时间序列在移动平均表达法中满足以下条件，则称单整阶数为0，既I(0)，通常也说，序列的自关联性衰退很快。

I(0)条件

注：对于所有稳定性序列，均满足I(0)，但满足I(0)却不能得到其一定为稳定的

有了I(0)的定义，接下来我们就可以通过归纳法逐步构建其他的单整阶数了。

如果一个序列满足I(0)，那么对其进行累加操作，新序列就是I(1)，再以此类推可以得到I(n)的序列。

下面我们来操作A序列，得到其对应的I(1)及I(2)序列

产生I(1)序列

I(1)序列图示

产生I(2)序列

I(2)序列图示

相反，如果从高阶的序列得到低阶的序列，需要使用差异函数进行处理。

高级转低阶

引入L为滞后算子，最终可以得到低阶序列为：

低阶序列

实例

我们使用微软的股票数据来实践一下以上的内容，首先获取2014年度每日股价数据，

获取价格数据

对其进行平稳性检测，可以看到价格是不平稳的，从图中也可以明显看到

示例代码

价格示例图

接下来我们使用diff函数将价格变化为每日收益，

价格示例图

价格变动图

注：可以看到，神奇的事情发生了，价格的变动序列是平稳的。你可以尝试自己使用pct_change替换diff函数，可以得到每日收益率序列也是平稳的

在量化金融中，常用收益来进行建模，因为它比价格要平稳的多，从而预测也更加稳定，但是在现实操作中也要一定注意，任何收益预测中的谬误可能会在某个时间被放大，从而导致极大的损失。

协整（Cointegration）

假设时间序列Y为时间序列(X1,X2,…,Xk)的线性组合，如下：

线性组合

如果(X1,X2,…,Xk)的单整阶数均为I(1)，但它们构造的线性组合的单整阶数为I(0),则称这些序列为协整的。

在量化金融中，对于协整的序列组合应用也非常广泛，最常见的就是配对交易，下一篇文章会进行专门的介绍，配对交易简单说来就是，利用协整的序列组合的噪声会自行回归的特征来进行交易。

依旧使用一个示例来进行说明，X1与X2均为非平稳序列，其中X2为X1加上一个正态噪声数据产生

示例代码

对X2使用diff函数，并检查其平稳性，可以得到X2依旧为I(1)

X2为I(1)

注：对X2进行diff后的序列为平稳的/I(0)，说明X2本身为I(1)

再来看看Z=X2-X1组合的情况

协整组合

协整性检验

有很多种协整性检验的方法，但通常我们都是通过解出一个可以得到I(0)线性组合的系数序列(b1,…,bk)，然后对其进行平稳性检验，你可能想到这并不准确，因为可能并没有处理到所有的可能性，确实如此！但是在这里并无大碍，因为不会导致我们做出错误的预测。

在实际操作中，通常会使用线性回归得到相关系数β

线性回归

然后移除X2对于X1的依赖，剩下的就应该为平稳的噪声数据。

移除依赖

接下来使用真实数据来进行一次协整检验，获取两支股票2014年的股价信息，

示例代码

示例图

注：从图中就可以看到明显的相关性

然后通过最小二乘法回归得到β

最小二乘法得到β

最终构造组合并检查平稳性

构造组合并检查平稳性

结论：最终该组合通过了平稳性检验，我们即可认为X1与X2的该线性组合是协整的