金母鸡量化教学场浅谈delta对冲和gamma对冲的核心思想

今天来简单了解一下delta对冲和gamma对冲的核心思想。

delta hedge的运用思路很简单，虽然无法单独预测option价格或者股票价格在下一时刻会涨还是会跌，也无法预测涨跌的绝对幅度。但是B-S方程解的微分形式给出了当前option价格涨跌幅度相对于当前股价涨跌幅度的一个比例系数，即dOption/dS, 而且这个比例系数是个确定的值。这个比例系数就称作delta。

换句话说，delta hedge就是用delta个股票和一个Option构成一个组合，在接下来一个足够小的时间段内(delta可以被认为保持不变)，这个组合中股票和OPTION涨跌相反，涨幅相同，因此就完全hedge了股价在接下来这个时段不确定所带来的风险。

由于delta在每个时刻都不断变化，所以一个理想的delta hedge就是不断的根据当前价格计算delta，然后及时调整股票仓位到最新的delta值。很显然，这样的频繁调整仓位在实际操作中不现实，而且交易成本巨大。可是如果调整仓位时间的间隔过长的话，hedge就会不充分，因为在较长间隔间隔内，不能近似认delta保持不变，这样delta hedge本身没法hedge 在调整仓位间隔内delta发生变化带来的风险。

这个时候就要采取gamma hedge来弥补。 gamma系数的定义是d（dOption/dS）/dS, 即option 价格对股价的两阶偏微分。gamma hedge的作用就是使delta 在较长时间间隔内可以近似保持不变，这样在实际操作当中，即使较长时间调整仓位也能得到充分的hedge。

可以这么去理解delta 和gamma这两个参数：以股票价格为横轴，Option价格为纵轴，可以画出一条option 价格随股价变动的曲线。而delta就是曲线上每个点的切线斜率，gamma则是曲线上每个点的曲率。

曲线有一个很显而易见的特点：相邻每个点的斜率变化很快，但曲率的变化相对慢很多。（举一个极端的例子，如果曲线是个圆弧，则每个点的斜率都不一样，但曲率却是个常数。）

如果我们在原曲线上合并另外一条曲线，使它的曲率正好等于原曲线曲率的负数。则两条曲线就合并成一条直线，这时候每个点的斜率锯都一样了。

gamma hedge 其实就是这样操作的：在原来delta hedge的基础上，计算当前gamma,由于以上论述，gamma变化比delta慢得多，即在较长时间间隔内gamma可认为不变。然后在市场上选择一个组合，使这个组合的gamma等于原组合当前gamma的负数，这个组合加到原组合构成一个新的hedge。在这个新的hedge下，delta在较长时间间隔内保持不变（因为新组合的gamma为零了）。

这样，通过gamma hedge的调整，就实现了即使在较长时间内调整仓位也能够做到充分hedge。在实际操作中，delta hedge和gammahedge经常是每天一次调整。gamma hedge中用到的组合是一组Option的组合，因为Option的价格相对于股票价格来说是非线性的，反映到图形上看就是曲线，能提供gamma。

综上所述，通过delta hedge和gamma hedge，我们就完全抵御了股价未来不确定所带来的风险，而且可以在较长时间间隔内进行hedge。