凯利公式在不确定的环境中寻找生存之道

1. 什么是凯利公式

1956年凯利受到香农信息论的启发，在内部期刊《贝尔技术系统期刊》中发表了一篇名为《对信息传输速率的新解释》的论文。然而这并不是论文原来的标题，原标题更有意思，叫《信息论与赌博》。因为公司高层觉得这样的标题有损公司道德形象，才被迫他换了一个新名字。

凯利公式要解决的问题：如何合理押注，可以最大化资产的复利增长。

凯利公式：f = (bp-q)/b

f=最佳投资仓位

b=赔率（赢时的回报率）

p=赢的概率

q=输的概率，即q=1-p

2. 凯利公式的第一次实战

1959年，麻省理工的教授索普在《美国国家科学院院刊》上发表《21点的有利策略》，但论文有个不完善的地方，就是只是知道如何在21点游戏中获得正的数学期望，却不知道应该如何下注。这时索普在香农的的介绍下，了解了凯利的工作内容。于是索普利用凯利公式，对21点游戏进行量化计算，血洗拉斯维加斯各大赌场，又把所有制胜手法写入了《战胜庄家》这本书里，最终被赌场所封杀。

3. 凯利公式的推导过程

假设有一个赌博游戏，非赢即输，且赢的概率为p，输的概率为q(q=1-p)，赔率为b，算每次投注的最优资产配置比例f应该是多少？

解：假设进行了n次游戏，第n次游戏后，拥有的资产为Cn

（1）当第n次游戏获胜时，

（2）当第n次游戏输时，

设总共赢了W 次，输了L次,W+L=n，则

两边取 log ⁡，得

当n→∞时，

如果一个函数的一阶导数为 0 ，二阶导数小于 0，则这个函数有最大值。经推导，函数

有最大值。

它的一阶导数为

令它为 0 得

4. 凯利公式的缺点：

理解了上述推导过程后，我们就可以来看看在价值投资中来使用它会有哪些缺点。

（1）凯利公式需要对赔率和胜率做出准确的评估，而这在价值投资中是很难做到。所以投资简单易懂的公司非常重要，因为分析这些公司的赔率和胜率会相对容易一些。（赔率和胜率的可分析性）

（2）凯利公式只是追求投资回报率的最大化，在安全性方面还是有所不足。比如它忽视了连续多次运气不好，可能导致的巨大回撤。所以现实中最好不要用原版的凯利公式，推荐使用半凯利公式（即在原版凯利公式的结果上再除以2），这个版本强化了安全性。（回报率最大化，而不是风险最小化）

（3）凯利公式假设每次投资都是独立的，这在价值投资中往往不成立，因为所有公司都和宏观经济高度正相关。降低正相关的方法，这里推荐使用大类资产配置，将资金分散在不同类别的资产上。（多次投注的独立性）

（4）凯利公式要求有大量的投注次数，因为凯利公式是在n趋于无穷的情况下推导出来的，而价值投资的投注次数往往很少，并且单次投注花费的时间非常长，所以在价值投资中胜率会比赔率来的更加重要。例如价值投资一般3-5年后才会迎来价值回归，如果胜率太小，就算赔率很大，运气稍微不好一点，浪费的时间成本也是非常巨大的。（投注次数）

注：索普在21点策略中使用凯利公式，21点的高投注频率、每次投注完全独立性、赔率和胜率非常清晰的特点，使得21点非常适合使用凯利公式。

5. 凯利公式在价值投资中的运用

不同类型的公司，投资仓位应该如何来确定？

这里根据投资公司的”当前估值、未来利润确定性、未来利润增长率“这三个属性，分成多个象限来进行分析，使用半凯利公式来计算仓位。（下面的计算纯粹是毛估估，具体情况还是要具体分析的）

（1）烟蒂股（差）

很便宜、未来利润没有确定性、无法分析未来利润增长率

胜率=0.3 赔率=2 仓位=0

例子：港股一些不知名公司

（2）烟蒂股（一般）

便宜、未来利润确定性较差、未来利润可能没有增长，甚至会有一些下降

胜率=0.6 赔率=0.5 仓位=0

例子：港股一些不知名公司

（3）烟蒂股（好）

（i）合理价格、未来利润确定性比较好、未来利润增长一般

胜率=0.7 赔率=0.5 仓位=5%

（ii）便宜、未来利润确定性比较好、未来利润增长一般

胜率=0.7 赔率=1 仓位=20%

例子：港股中移动

（4）好公司（差）

（i）合理价格、未来利润的确定性好、未来利润增长比较差

胜率=0.8 赔率=0.5 仓位=20%

（ii）便宜、未来利润的确定性好、未来利润增长比较差

胜率=0.8 赔率=1 仓位=30%

例子：长江电力

（5）好公司（一般）

（i）合理价格、未来利润的确定性好、未来利润增长一般

胜率=0.8 赔率=1 仓位=30%

（ii）便宜、未来利润的确定性好、未来利润增长一般

胜率=0.8 赔率=2 仓位=35%

例子：中国经济进入增长瓶颈期后的茅台

（6）好公司（好）

（i）合理价格、未来利润的确定性好、未来利润增长非常好

胜率=0.9 赔率=2 仓位=42.5%

（ii）便宜、未来利润的确定性好、未来利润增长非常好

胜率=0.9 赔率=4 仓位=43.75%

例子：中国刚加入WTO时期的茅台

注：这里第六条的计算结果说明了为什么巴菲特的单股持仓上限是40%，巴菲特也是用的半凯利公式。

5. 总结

（1）投资你能真正搞懂的生意，搞懂的意思是你能准确计算出赔率和胜率。

（2）价值投资要更加关注确定性，而不是赔率。

（3）单个股票的投资仓位永远不要太大，至少不要按凯利公式的结果来，不要为了投资回报率的最大化，而牺牲投资的安全性。

（4）资产配置非常重要

（5）永远不要用杠杆

注备：

“我们的集中度远高于其他投资机构。如果我们掌握的事实和逻辑正确、内在价值出现大幅改变的可能性非常低，那么我们可能会将高达40%的净资产投入单独一支证券。”

——-摘自1965年巴菲特致股东信